Números Racionales
Concepto y Clasificación de Fracciones
Un número racional es todo aquel que puede expresarse exactamente como el cociente de dos números enteros. Se representa con la letra ℚ. Se escribe en la forma a / b, donde el denominador b nunca puede ser cero (b ≠ 0).
Fracciones Propias e Impropias
Al comparar el numerador con el denominador, las fracciones se clasifican de dos maneras fundamentales:
Representa menos de una unidad entera (su valor es menor que 1). Ejemplo: 3/5 = 0.6.
Representa una o más unidades completas (su valor es igual o mayor que 1). Ejemplo: 7/4 = 1.75.
🟢 Fracciones Propias en la Vida Diaria
Cuando decimos «me comí 2/4 de naranja» o «quedan 3/8 de pizza», estamos ante fracciones propias porque estamos usando solo una porción dentro de una misma unidad entera.
🔴 Fracciones Impropias y Números Mixtos
Una fracción impropia puede escribirse como número mixto (una parte entera y una fracción propia). Por ejemplo, 7/4 equivale a 1 entero y 3/4 (1 3/4).
🔵 Fracciones Aparentes (Enteras)
Son aquellas impropias donde el numerador es múltiplo exacto del denominador: 8/4 = 2 unidades exactas, o 15/3 = 5 enteros.
Conversión a Decimales: Exactos y Periódicos
Todo número racional en forma de fracción a / b se puede convertir en un número decimal al dividir el numerador entre el denominador (a ÷ b). Según las cifras después de la coma, los decimales racionales se dividen en dos familias:
⚡ 1. Decimal Exacto (o Finito)
Es aquel cuya parte decimal tiene un número limitado o fijo de cifras. La división del numerador entre el denominador termina con un residuo de cero.
• 1/2 = 1 ÷ 2 = 0.5
• 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75
• 7/8 = 7 ÷ 8 = 0.875
🔄 2. Decimal Periódico Puro
Es aquel donde una o varias cifras decimales se repiten indefinidamente justo después de la coma. A esa cifra que se repite se le llama período.
• 1/3 = 1 ÷ 3 = 0.333... (el período es 3)
• 2/11 = 2 ÷ 11 = 0.181818... (el período es 18)
• 5/9 = 5 ÷ 9 = 0.555... (el período es 5)
🔀 3. Decimal Periódico Mixto
Entre la coma y el período que se repite existe una o varias cifras que no se repiten, a las cuales se les conoce como anteperíodo.
• 5/6 = 5 ÷ 6 = 0.8333... (anteperíodo: 8; período: 3)
• 7/15 = 7 ÷ 15 = 0.4666... (anteperíodo: 4; período: 6)
Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Estudia el paso a paso detallado para simplificar racionales, clasificar fracciones en propias o impropias, convertirlas a números mixtos y calcular su expresión decimal:
Demostrar que 24/36 es un número racional y simplificarlo
Verifica por qué 24/36 pertenece al conjunto de los números racionales (ℚ) y simplifícalo a su forma más simple.
Comprobar la definición formal de número racional
El número está escrito en la forma a / b, donde el numerador a = 24 es un número entero y el denominador b = 36 es un entero diferente de cero. Por tanto, cumple con la condición formal y pertenece al conjunto ℚ.
Encontrar el máximo común divisor (MCD)
Buscamos el mayor número que divida exactamente a 24 y a 36:
• Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
El máximo común divisor es 12.
Dividir numerador y denominador entre el MCD
• 24 ÷ 12 = 2
• 36 ÷ 12 = 3
Obtenemos la fracción equivalente irreducible: 2/3.
Interpretación final
💬 El racional 24/36 representa exactamente la misma cantidad que 2/3.
Clasificar y analizar la fracción 3/5
En una prueba escolar de 5 preguntas, un estudiante respondió correctamente 3. Determina si 3/5 es propia o impropia y qué porción representa.
Comparar numerador y denominador
El numerador es 3 y el denominador es 5. Como 3 < 5 (el numerador es menor que el denominador), se clasifica como una fracción propia.
Relación con la unidad entera
Toda fracción propia representa una cantidad menor que 1 unidad entera. En este caso, el estudiante no alcanzó a completar la totalidad del examen (5/5), sino solo una parte de él.
Valor decimal correspondiente
Dividimos el numerador entre el denominador: 3 ÷ 5 = 0.6 (un número comprendido estrictamente entre 0 y 1).
Clasificar 11/4 y convertirlo a número mixto
En una convivencia escolar se consumieron 11 cuartos (11/4) de pizza. ¿Cuántas pizzas completas y qué porción adicional se comieron?
Identificar el tipo de fracción
El numerador es 11 y el denominador es 4. Como 11 > 4 (el numerador es mayor que el denominador), es una fracción impropia. Esto indica que se necesitó más de una pizza completa.
Efectuar la división entera
Dividimos 11 entre 4:
• 11 ÷ 4 = 2 (cociente entero: 2 × 4 = 8 pizzas completas).
• Residuo: 11 - 8 = 3 (sobran 3 cuartos de pizza).
Escribir como número mixto
Ubicamos el cociente como parte entera, el residuo como numerador y conservamos el mismo denominador:
11/4 = 2 enteros y 3/4 (2 3/4).
Conclusión contextual
💬 Se comieron 2 pizzas completas más 3 pedazos de una tercera pizza.
Convertir 1/6 a número decimal y clasificarlo
Realiza la división entre numerador y denominador para determinar qué tipo de número decimal se genera.
Plantear la división
Dividimos el numerador entre el denominador: 1 ÷ 6.
Como 1 es menor que 6, colocamos 0 en el cociente con una coma y agregamos un cero al dividendo: 10 ÷ 6.
Desarrollar el cociente paso a paso
• 10 ÷ 6 = 1 (1 × 6 = 6, residuo 4). Cociente parcial: 0.1.
• Agregamos cero al residuo: 40 ÷ 6 = 6 (6 × 6 = 36, residuo 4). Cociente parcial: 0.16.
• Nuevamente agregamos cero: 40 ÷ 6 = 6 (residuo 4). El 6 se repite indefinidamente: 0.1666...
Clasificar el tipo de decimal
💬 El resultado 0.1666... es un decimal periódico mixto porque posee una cifra que no se repite antes de la repetición (anteperíodo = 1) y una cifra que se repite infinitamente (período = 6).
Ejercicios de Práctica Autónoma
Resuelve cada ejercicio en tu cuaderno de apuntes. Al concluir, haz clic en el botón azul «Ver Solución y Paso a Paso» para verificar tus resultados.
1. Clasificación: Propias e Impropias
Nivel: InicialIndica si cada una de las siguientes fracciones es propia o impropia: 4/7, 9/5, 12/12 y 2/9.
- 4/7: Fracción propia (4 < 7, menor que la unidad).
- 9/5: Fracción impropia (9 > 5, mayor que la unidad).
- 12/12: Fracción impropia (o aparente, igual a 1 unidad entera).
- 2/9: Fracción propia (2 < 9, menor que la unidad).
2. Conversión a Número Mixto
Nivel: IntermedioConvierte la fracción impropia 17/5 a número mixto indicando la cantidad de unidades completas y la fracción sobrante.
- Dividimos 17 entre 5: 17 ÷ 5.
- Cociente entero: 3 (porque 3 × 5 = 15).
- Residuo: 17 - 15 = 2.
- Resultado: 17/5 = 3 enteros y 2/5 (3 2/5).
3. Distinguir Decimal Exacto vs Periódico Puro
Nivel: AplicaciónCalcula el valor decimal de 3/8 y de 4/9. Clasifica cada uno en decimal exacto o periódico puro.
- 3/8: 3 ÷ 8 = 0.375 con residuo cero. Es un decimal exacto.
- 4/9: 4 ÷ 9 = 0.4444... La cifra 4 se repite indefinidamente de inmediato tras la coma. Es un decimal periódico puro con período 4.
4. De Decimal a Racional en la Vida Cotidiana
Nivel: DesafíoEn el laboratorio de ciencias se utilizaron 0.75 litros de alcohol. Expresa este número decimal como una fracción irreducible y clasifícala en propia o impropia.
- 0.75 tiene dos cifras decimales, por lo que se escribe sobre 100: 75/100.
- Simplificamos dividiendo ambos términos entre 25: (75 ÷ 25) / (100 ÷ 25) = 3/4.
- Como el numerador (3) es menor que el denominador (4), es una fracción propia.
- Respuesta: Corresponde a 3/4 de litro (fracción propia).
Quiz Evaluativo Integral
Escala de Calificación: 1.0 a 5.0 • Nota mínima aprobatoria: 3.5
Evalúa tus conocimientos sobre números racionales, fracciones propias, impropias, decimales exactos y periódicos. Selecciona la opción correcta en cada una de las 8 preguntas: